用递归的方法画分形图

用递归的方法画分形图


作者：苍竹先生

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　　分形几何是数学领域里新兴的课题，如果将图形的每个元素按某种规则进行变形，得到新的图形，以此类推，进行若干次变形后得到的图形就是分形图形。Couch曲线是最典型的分形图形：

　　将一条线段按照图1进行变换，得到图1，再将图1中的每条线段按图1的折线变换得到图2，以此类推，进行6次变换就得到图6，如果进行无限次变换，就得到的是Couch曲线，Couch曲线的维数不是整数维，更多详情请见分形方面的书籍。

　　用分形图形能画图许多漂亮的图案而被广泛地应用，下面将几个简单的分形图形的代码与图形大家分享。

//Couch曲线的画法

void Couch(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2,int n)

{

	//pDC是画图的设备上下文的指针

	//x1,y1,x2,y2是起始的两点

	//其中参数n是递归的层数

	int x3,y3,x4,y4,x5,y5;

	//以下是根据空间几何计算出来的坐标

	x3=x1+(x2-x1)/3;

	y3=y1+(y2-y1)/3;

	x4=x1+(x2-x1)*2/3;

	y4=y1+(y2-y1)*2/3;

	x5=x3+(x4-x3)/2+int(sqrt(3)*(y4-y3)/2);

	y5=y3-int(sqrt(3)*(x4-x3)/2)+(y4-y3)/2;

	//递归最后一层,递归的出口

	if(n==1)

	{

		pDC->MoveTo(x1,y1);

		pDC->LineTo(x3,y3);

		pDC->LineTo(x5,y5);

		pDC->LineTo(x4,y4);

		pDC->LineTo(x2,y2);

	}

	else

	{

		//递归画图

		Couch(pDC,x1,y1,x3,y3,n-1);

		Couch(pDC,x3,y3,x5,y5,n-1);

		Couch(pDC,x5,y5,x4,y4,n-1);

		Couch(pDC,x4,y4,x2,y2,n-1);

	}

}

//斯宾斯基篓垫的画法

void Floor(CDC *pDC,int x1, int y1,int x2,int y2,int x3,int y3,int n)

{

	//pDC是画图的设备上下文的指针

	//x1,y1,x2,y2,x3,y3是起始的三角形的三点坐标

	//其中参数n是递归的层数

	int x11,x22,x33,y11,y22,y33;

	//以下是根据空间几何计算出来的坐标

	x11=(x2+x3)/2;

	y11=(y2+y3)/2;

	x22=(x1+x3)/2;

	y22=(y1+y3)/2;

	x33=(x1+x2)/2;

	y33=(y1+y2)/2;

	pDC->MoveTo(x11,y11);

	pDC->LineTo(x22,y22);

	pDC->MoveTo(x11,y11);

	pDC->LineTo(x33,y33);

	pDC->MoveTo(x22,y22);

	pDC->LineTo(x33,y33);

	//递归最后一层,递归的出口

	if(n==1)

	{

		pDC->MoveTo(x11,y11);

		pDC->LineTo(x22,y22);

		pDC->LineTo(x33,y33);

		pDC->LineTo(x11,y11);

	}

	else

	{

		//递归画图

		Floor(pDC,x1,y1,x33,y33,x22,y22,n-1);

		Floor(pDC,x33,y33,x2,y2,x11,y11,n-1);

		Floor(pDC,x22,y22,x11,y11,x3,y3,n-1);

	}

}

//分形矩形的画法

void Rect(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2,int n)

{

	//pDC是画图的设备上下文的指针

	//x1,y1,x2,y2是起始矩形坐标

	//其中参数n是递归的层数

	int x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6;

	//以下是根据空间几何计算出来的坐标

	x3=x1+(x2-x1)/3;

	y3=y1+(y2-y1)/3;

	x4=x1+(x2-x1)*2/3;

	y4=y1+(y2-y1)*2/3;

	x5=x3+(y4-y3);

	y5=y3-(x4-x3);

	x6=x4-(y3-y4);

	y6=y4+(x3-x4);

	pDC->MoveTo(x1,y1);

	pDC->LineTo(x3,y3);

	pDC->MoveTo(x4,y4);

	pDC->LineTo(x2,y2);

	//递归最后一层,递归的出口

	if(n==1)

	{

		pDC->MoveTo(x1,y1);

		pDC->LineTo(x3,y3);

		pDC->LineTo(x5,y5);

		pDC->LineTo(x6,y6);

		pDC->LineTo(x4,y4);

	}

	else

	{

		//递归画图

		Rect(pDC,x3,y3,x5,y5,n-1);

		Rect(pDC,x5,y5,x6,y6,n-1);

		Rect(pDC,x6,y6,x4,y4,n-1);

	}

}

//分形树的画法，其中参数n是递归的层数

void Tree(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2,int n)

{

	//pDC是画图的设备上下文的指针

	//x1,y1,x2,y2是起始矩形坐标

	//其中参数n是递归的层数

	int x3,y3,x4,y4,x5,y5;

	//以下是根据空间几何计算出来的坐标

	x3=x1+(x2-x1)/3;

	y3=y1+(y2-y1)/3;

	x4=x3+int((x1-x3)*cos(5*pi/6))-int((y1-y3)*sin(5*pi/6));

	y4=y3+int((x1-x3)*sin(5*pi/6))+int((y1-y3)*cos(5*pi/6));

	x5=x3+int((x1-x3)*cos(5*pi/6))+int((y1-y3)*sin(5*pi/6));

	y5=y3-int((x1-x3)*sin(5*pi/6))+int((y1-y3)*cos(5*pi/6));

	pDC->MoveTo(x1,y1);

	pDC->LineTo(x2,y2);

	//递归最后一层,递归的出口

	if(n==1)

	{

		pDC->MoveTo(x3,y3);

		pDC->LineTo(x4,y4);

		pDC->MoveTo(x3,y3);

		pDC->LineTo(x5,y5);

	}

	else

	{

		//递归画图

		Tree(pDC,x3,y3,x2,y2,n-1);

		Tree(pDC,x3,y3,x4,y4,n-1);

		Tree(pDC,x3,y3,x5,y5,n-1);

	}

}

　　上述的代码及图形附有Visual C++源代码，并在Windows XP和Visual C++6.0下调试成功。更多的分形图形及图形坐标空间几何的计算方法请与作者联系。