数学与程序 一道游戏题目的快速解法

题目：

　　有十个开关等间距排成一线，每个开关对应其上方的一盏灯(十盏灯也排成一线)。每按动一下开关，可以使对应的灯改变状态(原来亮着的将熄灭，原来熄灭的将被点亮)。

　　但是，由于开关之间的距离很小，每次按动开关时，相邻的一个开关也将被按动。例如：按动第5个开关，则实际上第4、5、6个开关都被按动。而按动靠边的第1个开关时，第1、2个开关都被按动。并且，无法只按动最靠边的一个开关。

　　现在给出十盏灯的初始的状态和目标状态，要求计算：从初始状态改变到目标状态所需要的最少操作次数。

　　函数接口：

　　int MinChange(const int Start[],const int End[]);

　　其中：Start表示了初始状态，End表示了目标状态。表示状态的数组(Start和End)中，若某元素为0表示对应的灯亮着，否则表示对应的灯没有亮。调用函数时保证Start和End数组长度均为10，并保证有解。

　　看了很多人的解法都是用循环遍历来判断是否达到最后要求，但是如果和线形代数结合的话，就有一种很快速的解法。

　　约定：以下所用的‘+’号都是‘异或’的运算。

　　先简化一下，假设有四个灯，初始状态s0～s3，目标状态是e0～e3，转换一次状态就是和1进行异或运算一次，所以状态转移矩阵为：

　　(s0,s1,s2,s3)+k0*(1,1,0,0)+k1*(1,1,1,0)+k2*(0,1,1,1)+k3*(0,0,1,1)=(e0,e1,e2,e3);

　　其中k(n)表示第n个开关所翻动的次数。并且，注意异或运算中a+b+b=a，所以，某个开关翻动偶数次的效果相当于没有翻动，翻动奇数次的效果相当于翻动一次;又由于异或运算满足交换律，所以翻动的顺序没有影响。综上每个开关翻动的次数只有1次或0次就足够了。

　　设m(n)=s(n)+e(n)，注意异或运算中的’-'也就是’+'，所以解线性方程组：

　　k0+k1 =m1;

　　k0+k1+k2 =m2;

　　k1+k2+k3=m3;

　　k2+k3=m4;

　　假设解存在，就可以算出通解(k0,k1,k2,k3)，再统计出通解中1的个数，就是所需要翻动的次数了。并且还可以知道哪些开关需要拨动，比如算出解是(1,0,1,0)就是第0和2个开关需要拨动一次。

　　因此针对本题目的10个灯泡，本人已算出这10元线性方程组的通解：

　　k0=m0+m2+m3+m5+m6+m8+m9;

　　k1=m2+m3+m5+m6+m8+m9;

　　k2=m0+m1;

　　k3=m3+m0+m1+m5+m6+m8+m9;

　　k4=m5+m6+m8+m9;

　　k5=m4+m3+m0+m1;

　　k6=m6+m4+m3+m0+m1+m8+m9;

　　k7=m8+m9;

　　k8=m7+m6+m4+m3+m0+m1;

　　k9=m9+m7+m6+m4+m3+m0+m1;

　　和上面一样，m(n)为开始状态与目标状态的每位异或。至于是否存在解，本人已将次系数矩阵化简为对角矩阵，可以看到系数矩阵的秩(Rank)与未知数的个数相等，所以无论是任何的输入和输出变换都能找到唯一解。

　　本人程序如下：

　　int MinChange(const int Start[],const int End[]){

　　int m[10];

　　int k[10];

　　int res=0;

　　int i,j,n;

　　for(i=0;i<10;i++){

　　m[i]=Start[i]^End[i]; /* m[]=Start[] XOR End[] */

　　}

　　/* calculate roots */

　　k[0]=m[0]^m[2]^m[3]^m[5]^m[6]^m[8]^m[9];

　　k[1]=m[2]^m[3]^m[5]^m[6]^m[8]^m[9];

　　k[2]=m[0]^m[1];

　　k[3]=m[3]^m[0]^m[1]^m[5]^m[6]^m[8]^m[9];

　　k[4]=m[5]^m[6]^m[8]^m[9];

　　k[5]=m[4]^m[3]^m[0]^m[1];

　　k[6]=m[6]^m[4]^m[3]^m[0]^m[1]^m[8]^m[9];

　　k[7]=m[8]^m[9];

　　k[8]=m[7]^m[6]^m[4]^m[3]^m[0]^m[1];

　　k[9]=m[9]^m[7]^m[6]^m[4]^m[3]^m[0]^m[1];

　　/* count for switch times */

　　for(j=0;j<10;j++){

　　if(k[j]) res++;

　　}

　　/* display k(n); */

　　for(n=0;n<10;n++) printf(“%d,”,k[n]);

　　return res;

　　}

　　测试主程序：

　　main(){

　　int A[10]={1,1,1,0,0,1,0,1,1,0};

　　int B[10]={0,0,1,1,0,0,1,1,1,1};

　　int C;

　　C=MinChange(A,B);

　　printf(“**%d**”,C);

　　}

　　显示结果为：

　　1，0，0，0，1，1，1，1，0，1，**6**

　　就是如果要把状态A转为状态B，需要把第0，4，5，6，7，9号开关翻动一次，共6次。

　　测试验证结果正确：)

　　当然，此做法也有一个缺点，就是当灯的个数改变时，就要重新设定线形方程组的特解形式。