漫长的假期对于我来说总是枯燥无味的，闲来无聊便和同学玩起童年时经常玩的二十四点牌游戏来。此游戏说来简单，就是利用加减乘除以及括号将给出的四张牌组成一个值为24的表达式。但是其中却不乏一些有趣的题目，这不，我们刚玩了一会儿，便遇到了一个难题——3、6、6、10（其实后来想想，这也不算是个太难的题，只是当时我们的脑筋都没有转弯而已，呵呵）。
问题既然出现了，我们当然要解决。冥思苦想之际，我的脑中掠过一丝念头——何不编个程序来解决这个问题呢？文曲星中不就有这样的程序吗？所以这个想法应该是可行。想到这里我立刻开始思索这个程序的算法，最先想到的自然是穷举法（后来发现我再也想不到更好的方法了，悲哀呀，呵呵），因为在这学期我曾经写过一个小程序——计算有括号的简单表达式。只要我能编程实现四个数加上运算符号所构成的表达式的穷举，不就可以利用这个计算程序来完成这个计算二十四点的程序吗？确定了这个思路之后，我开始想这个问题的细节。
首先穷举的可行性问题。我把表达式如下分成三类——
1、 无括号的简单表达式。
2、 有一个括号的简单表达式。
3、 有两个括号的较复4、 杂表达式。
穷举的开始我对给出的四个数进行排列，其可能的种数为4*3*2*1=24。我利用一个嵌套函数实现四个数的排列，算法如下:
/* ans[] 用来存放各种排列组合的数组 */
/* c[] 存放四张牌的数组 */
/* k[] c[]种四张牌的代号，其中k[I]=I+1。
用它来代替c[]做处理，考虑到c[]中有可能出现相同数的情况 */
/* kans[] 暂存生成的排列组合 */
/* j 嵌套循环的次数 */
int fans(c,k,ans,kans,j)
int j,k[],c[];char ans[],kans[];
{ int i,p,q,r,h,flag,s[4],t[4][4];
for(p=0,q=0;p<4;p++)
{ for(r=0,flag=0;r if(k[p]!=kans[r]) flag++;
if(flag==j) t[j][q++]=k[p];
}
for(s[j]=0;s[j]<4-j;s[j]++)
{ kans[j]=t[j][s[j]];
if(j==3) { for(h=0;h<4;h++)
ans[2*h]=c[kans[h]-1]; /* 调整生成的排列组合在最终的表
达式中的位置 */
for(h=0;h<3;h++)
symbol(ans,h); /* 在表达式中添加运算符号 */
}
else { j++;
fans(c,k,ans,kans,j);
j–;
}
}
}
正如上面函数中提到的，在完成四张牌的排列之后，在表达式中添加运算符号。由于只有四张牌，所以只要添加三个运算符号就可以了。由于每一个运算符号可重复，所以计算出其可能的种数为4*4*4=64种。仍然利用嵌套函数实现添加运算符号的穷举，算法如下:
/* ans[],j同上。sy[]存放四个运算符号。h为表达式形式。*/
int sans(ans,sy,j,h)
char ans[],sy[];int j,h;
{ int i,p,k[3],m,n; char ktans[20];
for(k[j]=0;k[j]<4;k[j]++)
{ ans[2*j+1]=sy[k[j]]; /* 刚才的四个数分别存放在0、2、4、6位
这里的三个运算符号分别存放在1、3、5位*/
if(j==2)
{ ans[5]=sy[k[j]];
/* 此处根据不同的表达式形式再进行相应的处理 */
}
else { j++; sans(ans,sy,j–,h); }
}
}
好了，接下来我再考虑不同表达式的处理。刚才我已经将表达式分为三类，是因为添加三个括号对于四张牌来说肯定是重复的。对于第一种，无括号自然不用另行处理；而第二种情况由以下代码可以得出其可能性有六种，其中还有一种是多余的。
for(m=0;m<=4;m+=2)
for(n=m+4;n<=8;n+=2)
这个for循环给出了添加一个括号的可能性的种数，其中m、n分别为添加在表达式中的左右括号的位置。我所说的多余的是指m=0，n=8，也就是放在表达式的两端。这真是多此一举，呵呵！最后一种情况是添加两个括号，我分析了一下，发现只可能是这种形式才不会是重复的——（a b）(c d)。为什么不会出现嵌套括号的情况呢？因为如果是嵌套括号，那么外面的括号肯定是包含三个数字的（四个没有必要），也就是说这个括号里面包含了两个运算符号，而这两个运算符号是被另外一个括号隔开的。那么如果这两个运算符号是同一优先级的，则肯定可以通过一些转换去掉括号（你不妨举一些例子来试试），也就是说这一个括号没有必要；如果这两个运算符号不是同一优先级，也必然是这种形式((a+-b)*/c)。而*和/在这几个运算符号中优先级最高，自然就没有必要在它的外面添加括号了。
综上所述，所有可能的表达式的种数为24*64*（1+6+1）=12288种。哈哈，只有一万多种可能性（这其中还有重复），这对于电脑来说可是小case哟！所以，对于穷举的可行性分析和实现也就完成了。
接下来的问题就是如何对有符号的简单表达式进行处理。这是栈的一个著名应用，那么什么是栈呢？栈的概念是从日常生活中货物在货栈种的存取过程抽象出来的，即最后存放入栈的货物（堆在靠出口处）先被提取出去，符合“先进后出，后进先出”的原则。这种结构犹如子弹夹。
在栈中，元素的插入称为压入（push）或入栈，元素的删除称为弹出（pop）或退栈。
栈的基本运算有三种，其中包括入栈运算、退栈运算以及读栈顶元素，这些请参考相关数据结构资料。根据这些基本运算就可以用数组模拟出栈来。
那么作为栈的著名应用，表达式的计算可以有两种方法。
第一种方法——
首先建立两个栈，操作数栈OVS和运算符栈OPS。其中，操作数栈用来记忆表达式中的操作数，其栈顶指针为topv，初始时为空，即topv=0；运算符栈用来记忆表达式中的运算符，其栈顶指针为topp，初始时，栈中只有一个表达式结束符，即topp=1，且OPS（1）=‘；’。此处的‘；’即表达式结束符。
然后自左至右的扫描待处理的表达式，并假设当前扫描到的符号为W，根据不同的符号W做如下不同的处理：
1、 若W为操作数
2、 则将W压入操作数栈OVS
3、 且继续扫描下一个字符
4、 若W为运算符
5、 则根据运算符的性质做相应的处理：
(1)、若运算符为左括号或者运算符的优先级大于运算符栈栈顶的运算符(即OPS(top)),则将运算符W压入运算符栈OPS，并继续扫描下一个字符。
(2)、若运算符W为表达式结束符‘；’且运算符栈栈顶的运算符也为表达式结束符（即OPS(topp)=’;’），则处理过程结束，此时，操作数栈栈顶元素（即OVS（topv））即为表达式的值。
(3)、若运算符W为右括号且运算符栈栈顶的运算符为左括号（即OPS（topp）=’(‘)，则将左括号从运算符栈谈出，且继续扫描下一个符号。
(4)、若运算符的右不大于运算符栈栈顶的运算符（即OPS(topp)），则从操作数栈OVS中弹出两个操作数，设先后弹出的操作数为a、b，再从运算符栈OPS中弹出一个运算符，设为+，然后作运算a+b,并将运算结果压入操作数栈OVS。本次的运算符下次将重新考虑。
第二种方法——
首先对表达式进行线性化，然后将线性表达式转换成机器指令序列以便进行求值。
那么什么是表达式的线性化呢？人们所习惯的表达式的表达方法称为中缀表示。中缀表示的特点是运算符位于运算对象的中间。但这种表示方式，有时必须借助括号才能将运算顺序表达清楚，而且处理也比较复杂。
1929年，波兰逻辑学家Lukasiewicz提出一种不用括号的逻辑符号体系，后来人们称之为波兰表示法（Polish notation）。波兰表达式的特点是运算符位于运算对象的后面，因此称为后缀表示。在对波兰表达式进行运算，严格按照自左至右的顺序进行。下面给出一些表达式及其相应的波兰表达式。
表达式 波兰表达式
A-B AB-
（A-B）*C+D AB-C*D+
A*（B+C/D）-E*F ABCD/+*EF*-
（B+C）/（A-D） BC+AD-/
OK，所谓表达式的线性化是指将中缀表达的表达式转化为波兰表达式。对于每一个表达式，利用栈可以把表达式变换成波兰表达式，也可以利用栈来计算波兰表达式的值。
至于转换和计算的过程和第一种方法大同小异，这里就不再赘述了。
下面给出转换和计算的具体实现程序——
/* first函数给出各个运算符的优先级，其中=为表达式结束符 */
int first(char c)
{ int p;
switch(c)
{ case ‘*’: p=2; break;
case ‘/’: p=2; break;
case ‘+’: p=1; break;
case ‘-’: p=1; break;
case ‘(‘: p=0; break;
case ‘=’: p=-1; break;
}
return(p);
}
/* 此函数实现中缀到后缀的转换 */
/* M的值宏定义为20 */
/* sp[]为表达式数组 */
int mid_last()
{ int i=0,j=0; char c,sm[M];
c=s[0]; sm[0]=’='; top=0;
while(c!=’\0′)
{ if(islower(c)) sp[j++]=c;
else switch(c)
{ case ‘+’:
case ‘-’:
case ‘*’:
case ‘/’: while(first(c)<=first(sm[top]))
sp[j++]=sm[top--];
sm[++top]=c; break;
case ‘(‘: sm[++top]=c; break;
case ‘)’: while(sm[top]!=’(‘)
sp[j++]=sm[top--];
top–; break;
default :return(1);
}
c=s[++i];
}
while(top>0) sp[j++]=sm[top--];
sp[j]=’\0′; return(0);
}
/* 由后缀表达式来计算表达式的值 */
int calc()
{ int i=0,sm[M],tr; char c;
c=sp[0]; top=-1;
while(c!=’\0′)
{ if(islower(c)) sm[++top]=ver[c-'a'];/*在转换过程中用abcd等来代替数，
这样才可以更方便的处理非一位数，
ver数组中存放着这些字母所代替的数*/
else switch(c)
{ case ‘+’: tr=sm[top--]; sm[top]+=tr; break;
case ‘-’: tr=sm[top--]; sm[top]-=tr; break;
case ‘*’: tr=sm[top--]; sm[top]*=tr; break;
case ‘/’: tr=sm[top--];sm[top]/=tr;break;
default : return(1);
}
c=sp[++i];
}
if(top>0) return(1);
else { result=sm[top]; return(0); }
}
这样这个程序基本上就算解决了，回过头来拿这个程序来算一算文章开始的那个问题。哈哈，算出来了，原来如此简单——（6-3）*10-6=24。
最后我总结了一下这其中容易出错的地方——
1、 排列的时候由于一个数只能出现一次， 所以必然有一个判断语句。但是用什么来判断，用大小显然不行，因为有可能这四个数中有两个或者以上的数是相同的。我的方法是给每一个数设置一个代号，在排列结束时，通过这个代号找到这个数。
2、在应用嵌套函数时，需仔细分析程序的执行过程，并对个别变量进行适当的调整（如j的值）,程序才能正确的执行。
3、在分析括号问题的时候要认真仔细，不要错过任何一个可能的机会，也要尽量使程序变得简单一些。不过我的分析可能也有问题，还请高手指点。
4、在用函数对一个数组进行处理的时候，一定要注意如果这个数组还需要再应用，就必须将它先保存起来，否则会出错，而且是很严重的错误。
5、在处理用户输入的表达式时，由于一个十位数或者更高位数是被分解成各位数存放在数组中，所以需对它们进行处理，将它们转化成实际的整型变量。另外，在转化过程中，用一个字母来代替这个数，并将这个数存在一个数组中，且它在数组中的位置和代替它的这个字母有一定的联系，这样才能取回这个数。
6、由于在穷举过程难免会出现计算过程中有除以0的计算，所以我们必须对calc函数种对于除的运算加以处理，否则程序会因为出错而退出（Divide by 0）。
7、最后一个问题，本程序尚未解决。对于一些比较著名的题目，本程序无法解答。比如说5、5、5、1或者8、8、3、3。这是由于这些题目在计算的过程用到了小数，而本程序并没有考虑到小数。
最后，由于此文档并没有在写程序的同时完成，所以难免因为记忆的差错和小弟水平的不足而有不少错误，还望各位批评指正；或者你认为我写得还不够清楚，你也可以给我来信讨论。
小弟的程序可以从以下地址下载
作者：檀银兵
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网友对该文章的评论
网友: 果果(xz0625@163.com) 发表于: 2004-6-7 11:03:17
请问一下4个7怎么得算出24喃？
网友: jj 发表于: 2004-5-29 20:50:24
何不用二叉树编出来呢？？
网友: jj 发表于: 2004-5-29 20:50:09
何不用二叉树编出来呢？？
网友: 536 发表于: 2004-5-13 23:48:55
3.3.7.7
网友: wu (wq1225@hotmail.com) 发表于: 2004-5-10 16:38:07
1,5,5,5如何得到24？
网友: hjhjh(userghj@yahoo.com.cn) 发表于: 2004-4-16 18:33:22
// begin1.cpp : Defines the entry point for the console application.
//
#include “stdafx.h”
#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <stack>
using namespace std ;
typedef stack<char> STACK_CHAR;
typedef stack<double> STACK_DOUBLE;
const double err_value = atan(1)/13;
const int str_len = 300;
const int MAXELEMENT = 4;
//–definitions
bool Tour(int* pArray, int iLength);
double CalcValue(double a, double b, char o);
int GetValue(char* p, double* value);
int GetSubstr(char* p, char* substr);
double ParseExpression(char* p);
bool quiz24(int *);
bool Findresult(int* p, int length);
bool IsEqual(char* p, double value);
int parsedata(char* p, double* data);
//global
int g_iIndex, g_iResult[100][MAXELEMENT];
char g_Press[str_len];
int main(int argc, char* argv[])
{
char input[str_len], c;
int i=0, j;
double ghuge[MAXELEMENT];
int x[MAXELEMENT];
printf(“For example[9,9,9,9], RETURN accept!\n”);
printf(“Input number(only 4):\n”);
while((c = getch()) != 0x1b){
if(c == 13){
printf(“%c”, c);
input[i++] = ‘\0′;
j = parsedata(input, ghuge);
if(j = 4){
for(i=0; i<j; i++)
x[i] = (int)ghuge[i];
quiz24(x);
}
/*for(i=0; i<j; i++)
printf(“%f\n”, ghuge[i]);*/
i=0;
}else{
printf(“%c”, c);
input[i++] = c;
}
}
return 0;
}
bool quiz24(int *x)
{
/*int iValue[MAXELEMENT] = {8,8,3,3};
srand(time(NULL));
for(i=0; i<MAXELEMENT; i++){
iValue[i] = rand()%13+1;
}*/
int i;
g_iIndex = 0;
Tour(x, MAXELEMENT);
for(i=0; i<g_iIndex; i++){
if(Findresult(g_iResult[i], MAXELEMENT)){
printf(“result %s!\n”, g_Press);
return true;
}
}
printf(“%d %d %d %d \n”, g_iResult[0][0], g_iResult[0][1],
g_iResult[0][2], g_iResult[0][3]);
return false;
}
bool Findresult(int* p, int length)
{
const int c = 4;
char op[] = {‘+’, ‘-’, ‘x’, ‘/’, ‘$’};
char formula[str_len];
const char* ghuge[] = {“%d%c%d%c%d%c%d”, “(%d%c%d)%c%d%c%d”,
“(%d%c%d%c%d)%c%d”, “%d%c(%d%c%d)%c%d”,
“%d%c(%d%c%d%c%d)”,”%d%c%d%c(%d%c%d)”,
“((%d%c%d)%c%d)%c%d”, “(%d%c(%d%c%d))%c%d”
, “(%d%c%d)%c(%d%c%d)”, “%d%c((%d%c%d)%c%d)”
, “%d%c(%d%c(%d%c%d))”};
const int N = 11;
int i, j, k, n;
for(i=0; i<c; i++){
for(j=0; j<c; j++){
for(k=0; k<c; k++){
for(n=0; n<N; n++){
sprintf(formula, ghuge[n], p[0], op[i], p[1],
op[j], p[2], op[k], p[3]);
//printf(“%s\n”, formula);
if(IsEqual(formula, 24)) return true;
}
}
}
}
return false;
}
bool IsEqual(char* p, double value)
{
double d;
d = (ParseExpression(p)-value)*1000.0;
//printf(“%s = %d\n”, p, d);
if(abs(d) == 0){
strcpy(g_Press, p);
return true;
}
strcpy(g_Press, “\0″);
return false;
}
int parsedata(char* p, double* data)
{
int i=0, temp, j = 0;
double value;
while(p[i]&&j<MAXELEMENT){
if((p[i] >=’0′&& p[i]<=’9′)||p[i] == ‘.’){
temp = GetValue(&p[i], &value);
i += temp;
data[j++] = value;
}
i++;
}
return j;
}
bool Tour(int* pArray, int iLength)
{
int pTemp[MAXELEMENT] = {0};
int i, j, iSave;
if(iLength == 1){
g_iResult[g_iIndex++][iLength-1] = pArray[iLength-1];
}else{
for(i=0; i<iLength; i++){
for(j=0; j<iLength; j++)
pTemp[j] = pArray[j];
for(j=i; j<iLength-1; j++)
pTemp[j] = pTemp[j+1];
iSave = g_iIndex;
Tour(pTemp, iLength-1);
for(j=iSave; j<g_iIndex; j++)
g_iResult[j][iLength-1] = pArray[i];
}
}
return true;
}
double CalcValue(double a, double b, char o)
{
double ret = 0;
switch(o){
case ‘+’:
ret = a + b;
break;
case ‘-’:
ret = a – b;
break;
case ‘x’:
ret = a * b;
break;
case ‘/’:
if( b == 0)
return err_value;
ret = a / b;
break;
case ‘$’:
ret = pow(a, b);
if((ret-(int)ret) != 0)
return err_value;
break;
default:
return err_value;
}
return ret;
}
int GetValue(char* p, double* value)
{
double temp;
int i, demical;
i = 0;
demical = -1;
temp = 0.0;
while((p[i] >=’0′&& p[i]<=’9′)||p[i] == ‘.’){
if(p[i] == ‘.’)
demical = i;
else
temp = temp*10 + p[i] – ’0′;
i++;
}
if(demical != -1)
temp = temp / pow(10, (i-demical-1));
*value = temp;
return (i-1);
}
int GetSubstr(char* p, char* substr)
{
int i, j, nest;
char temp[str_len] = {0};
i = nest = j = 0;
i++;
while( ((nest!=0) || (p[i]!=’)'))&& p[i] != ‘\0′ ){
if(p[i] == ‘(‘)
nest++;
else if(p[i] == ‘)’)
nest–;
temp[j] = p[i];
j++;i++;
//printf(“\n %s\n”, “oooos”);
}
temp[j] = ‘\0′;
strcpy(substr, temp);
return i;
}
double ParseExpression(char* p)
{
static double ret = 0, first = 0, second = 0;
char temp[str_len], opr = 0;
int i, j;
//gstack stack;
STACK_CHAR active;
STACK_DOUBLE element;
i = j = 0;
while(p[i]){
if( (p[i] >=’0′&& p[i]<=’9′)||p[i] == ‘.’ ){
j = GetValue(&p[i], &ret);
i += j;
element.push(ret);
//printf(“\n%f\n”, ret);
}else if(p[i] == ‘(‘){
j = GetSubstr(&p[i], temp);
i += j;
ret = ParseExpression(temp);
element.push(ret);
//printf(“\n%s\n”, temp);
}else if(p[i] == ‘+’ ||p[i] == ‘-’){
while(!active.empty()){ //maybe element stack have only element;
opr = active.top();
active.pop();
second = element.top();
element.pop();
first = element.top();
element.pop();
ret = CalcValue(first, second, opr);
element.push(ret);
}
active.push(p[i]);
}else if(p[i] == ‘x’ ||p[i] == ‘/’){
while( (!active.empty())&&(active.top()!=’+')&&(active.top()!=’-') ){
opr = active.top();
active.pop();
second = element.top();
element.pop();
first = element.top();
element.pop();
ret = CalcValue(first, second, opr);
element.push(ret);
}
active.push(p[i]);
}else if(p[i] == ‘$’){
active.push(p[i]);
}
i++;
}
while(!active.empty()){
opr = active.top();
active.pop();
second = element.top();
element.pop();
first = element.top();
element.pop();
ret = CalcValue(first, second, opr);
element.push(ret);
}/**/
ret = element.top();
element.pop();
return ret;
}
这是我的程序，清高手指点！MAIL to <B>userghj@yahoo.com.cn</B>
>> 本文固定链接: http://www.vcgood.com/archives/1480
太烦.